新闻中心

N
ews

《抢分50招》之“齐头并进 - 平面向量等和线定理”抢先揭秘!

2021-02-01点击:2030

平面向量基本定理是学好、用好平面向量的精髓所在,很多向量或几何问题,若不注重平面基本定理的应用,是会走很多弯路的。

今天要说的等和线定理,其实就是平面向量基本定理的一个重要推论——“共线定理”,但它的作用却是不可小觑的,一旦用好它,便能直捣黄龙,一举破题!


微信截图_20210201111728.png


课本上有多处出现了“等和线”的基本题型,其理论基础多次被提及。

此类题目要求学生在数形结合,转化化归等数学思想上有很高的理解,对于此类题目学生普遍束手无策。

学生在解决此类问题时,往往要通过建系或者利用角度与数量积处理,思路不清晰且解题繁琐,得分率普遍不高。故做此专题,希望能给出一个简单的方法解决此类问题。


齐头并进 -平面向量之等和线定理


01 招式赏析


以2017年全国III卷选择压轴题第12题为例,我们知道,该题利用建系法结合直线与圆的位置关系也可以求解,但计算量偏大,且考查知识比较综合,考生在考场上必然要花费不少时间,且还容易出错。


而如果能会利用等和线定理来求解,会显得简单很多,当然前提条件是理解透彻该定理,故设计本解题招式——齐头并进,相信通过对该招式的剖析,定会让你体验到等和线定理的妙不可言。

微信截图_20210201111742.png微信截图_20210201111748.png


02 见招拆招


通过对高考真题的赏析,结合平面向量共线定理,引申出等和线定理问题模型,让你清楚等和线定理其实就是平面向量共线定理的推论,做到知其然知其所以然。


向量问题等和线的运用


1.适用题型

平面向量基本定理的表达式中,研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

2.基本定理

微信截图_20210201111755.png


03 招式套路


当然,只知其所以然还不行,还要清楚等和线定理的具体用处,所以给出等和线的具体类型,解题思想,解题套路,方能知己知彼。

微信截图_20210201111801.png


2.解题步骤

1.确定等和线为1的线;

2.平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;

3.从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值和最小值。

说明:平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致,若不一致,本着少数服从多数的原则,优先平移固定的向量;若需要研究的两系数的线性关系,则需要通过变换基底向量,使得需要研究的代数式为基底的系数和。


04 招式实战


要知道,知己知彼,一战方休,实战才能见真章!同学们要通过类似题型的练习,体会等和线定理解决问题的效果,掌握一个解题大招,解决一类典型问题,快速提分,轻松应考!

(以下提供一些类似的题型,同学们可以一展身手,将此招式学以致用,举一反三!需要解析的同学们可以在后台回复“齐头并进”,即可获取题目解析哦!


微信截图_20210201111816.png


平面向量在高考中为必考高频考点,有单独考查,亦经常渗透到其它考点,多以平面图形为主,涉及动点、最值问题已经是考查的主流趋势,多数同学解决此类问题,方法是以建系为主,基底为辅,简单题建系耗时间,难题目建系运算量大!

等和线定理的应用其实可以辅助我们秒解这类最值问题,若要熟练应用,需不断实践,慢慢沉淀!



除“齐头并进”外,还有很多关于数学解题的招式,如:运用“庖丁解牛”解决范围问题;运用“借花献佛”解决放缩法证明不等式问题;运用“颠倒乾坤”解决等体积法求距离问题……趣味招式,招招制胜!


如果你对这些招式感兴趣,千万不能错过即将上线的《高考抢分五十招》,这绝对是你数学高考复习的一大秘籍!